離職證明和勞健保問題

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您好，很抱歉需要請您幫我解惑
我在4月15日開始就職於一間五金行，到5月31日做完離職。換到了現在的工作上，因為公司要求新進員工資料其中一項是前一份工作的離職證明，所以我6/2號禮拜二的時候，有傳訊息(LINE)給五金行的負責人(老闆娘的女兒)告知我有需要請他幫我開立離職證明，然而對方不讀不回。在我離職的時候對方就有告知要我6月5號的時候回去領5月份的薪資，所以我禮拜四的時候也傳了一次訊息詢問，也是沒有回應，到了隔天14:42的時候才回覆我短短一句話: 晚上七點帶身分證和印章過來。
我當天晚上到的時候，負責人說老闆娘不知道我今天要來，所以要我之後等老闆娘在的時候再來拿，可是我明明是提早告知，當天下午兩點她們也回覆我的，老闆娘平時都五點多才下班，感覺就是有些問題。
而且負責人還說，自己本身是讀法律的，說沒有法律規定資方應該提供離職證明書，還要求我當場將查到的法條讀出來給她聽，我唸到一半就被打斷，她說，裡面只有說服務證明，沒有講離職證明，然後堅持兩者不一樣，後面說開給我的是服務證明書，要我6月8號禮拜一，也是晚上七點過去拿，我詢問她
，老闆娘不是五點就下班了，那天七點不會又下班了嗎?結果她回我:如果老闆娘不在就變成她幫我處理
，那我禮拜五去的時候說要等老闆娘在才能給我又是何意.....而且對方說，我禮拜二傳送的訊息，她禮拜三才看到，要我等一個禮拜工作天很正常，彷彿在暗示我明天去拿又再叫我等到禮拜三.....
請問如果我明天去又被藉口推脫沒能拿到，我該如何申訴比較好呢?

勞健保的部分是，我4月15日開始上班，對方面試時說有投保勞健保，可我6月2號收到繳費通知書，
上網查詢後才發現五金行在5月8號才幫我保勞健保，等於我4月15到5月8號期間是沒有投保的，請問這是正常的嗎?我在五金行之前的工作健保轉出日期是4月6號，應該是不會有避免重複投保這種原因的，
而且他們也完全沒有交代這部分的事情，之前還在職的時候聽其他同事說他們非正職的時薪工讀生好像沒有幫他們投保勞健保，感覺不太合理，請問這部分我能如何申訴呢?
謝謝您花時間看完我的諮詢，麻煩您了!